Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник, формула

Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами. Угол между двумя соседними вершинами правильного n-угольника равен: \[AOB = α = \frac{360°}{n}\]

Построим треугольник AOB отдельно. Об этом треугольнике мы знаем: он равнобедренный, и высота этого треугольника это радиус вписанной окружности правильного многоугольника. Также нам известна длина основания a этого треугольника — которое является стороной исходного правильного многоугольника.

Также известен угол между бедрами — по формуле (1). Опустим высоту на основание и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник. При помощи тригонометрических функций острого угла получим:

отсюда получим формулу радиуса вписанной окружности правильного многоугольника:

Вычислить, найти радиус вписанной окружности в правильный многоугольник по формуле (3)