Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник, формула

Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами. Угол между двумя соседними вершинами правильного n-угольника равен:

\tag{1}AOB = α = \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{360}}°}{n}

Радиус вписанной окружности правильного многоугольника

Построим треугольник AOB отдельно. Об этом треугольнике мы знаем: он равнобедренный, и высота этого треугольника это радиус вписанной окружности правильного многоугольника. Также нам известна длина основания a этого треугольника — которое является стороной исходного правильного многоугольника.

Также известен угол между бедрами — по формуле (1). Опустим высоту на основание и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник. При помощи тригонометрических функций острого угла получим:

\tag{2}\htmlStyle{color: Crimson;}{\tg}\bigg(\frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{360}}°}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}}n}\bigg) = \frac{a}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}}r}

отсюда получим формулу радиуса вписанной окружности правильного многоугольника:

\tag{3}r = \frac{a}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} \htmlStyle{color: Crimson;}{\tg}(\frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{360}}°}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}}n})}

(a - сторонa правильного многоугольника; n - число сторон правильного многоугольника; r - радиус вписанной окружности правильного многоугольника)

Вычислить, найти радиус вписанной окружности в правильный многоугольник по формуле (3)

Назад Вперед