Построить график функции y=axⁿ (степенная функция)

Степенная функция. Функция

(a, n — постояные величины) называется степенной. функции y=ax, y=ax², y=a/x — частные виды степенной функции ( a=1, a=2, a=-1 )

Так как нулевая степень всякого числа, не равного нулю, есть единица, то при n=0 степенная функция становится постоянной величиной y=a. В этом случае график — прямая линия, параллельная оси абсцисс.

Остальные случаи можно разбить на две группы n>0 и n<0.

Степенная функция при n>0

В этом случае степенная функция, ее график, проходит через начало координат и точку (1;1). Если степенная функция имеет целый показатель, то x может быть (-∞;+∞). Если степенная функция имеет дробный показатель, с четным знаменателем, то x может быть [0;+∞).

По аналогии с графиком функции y=ax² графики всех степенных функций y=axⁿ при положительном n назвают — Парабола n-ного порядка (или n-ной степени)

Если n=p/q с четным знаменателем q и нечетным числителем p, то величина

имеет два знака, и у графика появляется еще одна часть снизу от оси абсцисс, симметричная с верхней половиной.

Степенная функция при n<0

В этом случае степенная функция, ее график, проходит через точку (1;1). Все графики неограниченно приближаются к оси абсцисс и к оси ординат, не достигая ни той ни другой. При любом показателе степенной функции x может быть [0;+∞).

В следствии сходства с гиперболой эти графики называют — Гипербола n-ного порядка (или n-ной степени)

Построение графика функции y=axⁿ (степенная функция)