Сумма нескольких векторов

Сумма нескольких векторов а₁, а₂, а₃, … , а_n, это вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а₁ прибавляется вектор а₂, к полученному вектору прибавляется вектор а₃ и т.д.

Из определения вытекает такое построение

Правило многоугольника или правило цепи

Из произвольного начала О строим вектор ОА₁ = а₁, из точки А₁, как из начала, строим вектор А₁А₂ = а₂, из точки А₂ строим вектор А₂А₃ = а₃ и т.д. Вектор ОА_n (на рисунке n = 6) есть сумма векторов а₁, а₂, … , а_n.

Сумма векторов а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆ обозначается

\[ \vector{a_1}+\vector{a_2}+\vector{a_3}+\vector{a_4}+\vector{a_5}+\vector{a_6} \]

Свойство сочетательности

Слагаемые векторы можно группировать как угодно.

Так, если найти сначала сумму векторов

\[ \vector{a_2}+\vector{a_3}+\vector{a_4}+\vector{a_5}+\vector{a_6} = \vector{A_1 A_6} \]

и к ней прибавить вектор а₁ (ОА₁), то получим то же вектор:

\[ \vector{a_1}+(\vector{a_2}+\vector{a_3}+\vector{a_4}+\vector{a_5}+\vector{a_6}) = \\ = \vector{a_1}+\vector{a_2}+\vector{a_3}+\vector{a_4}+\vector{a_5}+\vector{a_6} \]

Правило параллелепипеда

Если три вектора а, b, с после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то сумму а+b+c можно найти таким построением:

Правило параллелепипеда — Сумма нескольких векторов

Из любого начала О строим векторы ОА = а, ОВ = b, ОС = с, на отрезках ОА, ОВ, ОС, как на ребрах, строим параллелепипед. Вектор диагонали OD есть сумма векторов a, b, и c (так как ОА = а, АК = ОВ = b, KD = OC = c и OD = OA + AK + KD).

К векторам, которые (после приведения к общему началу) лежат в одной плоскости, это построение неприменимо.

Назад Вперед