Перемножение (произведение) матриц, формула

Произведением матрицы A имеющей порядки m и n на матрицу B имеющую порядки n и p называется матрица C имеющая порядки m и p и элементы определяемые формулой

\[ A = a_{i,j} = (a_{i,j})\begin{cases} i={1,2,\dots,m} \\ j={1,2,\dots,n} \end{cases} \]
\[ B = b_{i,j} = (b_{i,j})\begin{cases} i={1,2,\dots,m} \\ j={1,2,\dots,n} \end{cases} \]
\[ С = с_{i,j} = (с_{i,j})\begin{cases} i={1,2,\dots,m} \\ j={1,2,\dots,p} \end{cases} \]
\[ с_{i,j} = \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{i,k} \cdot b_{k,j} \begin{cases} i={1,2,\dots,m} \\ j={1,2,\dots,p} \end{cases} \]

Иначе: Элемент ci,j стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы A и j столбца матрицы B

Пример:

\[ C = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix} = \]

Здесь A (m=2 строки, n=3 столбца), B (n=3 строки, p=2 столбца), Новая матрица С (m=2 строки, p=2 столбца),

\[ C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} = \\ \medspace \\ = \begin{cases} c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31} \\ c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32} \\ c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} + a_{23} \cdot b_{31} \\ c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} + a_{23} \cdot b_{32} \end{cases} \]

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используется запись

\[ C = A \cdot B \]

Перемножение (произведение) матриц, есть операция составления произведения матрицы A на матрицу B.

Условие перемножения (произведения) матриц

Матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B. Необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B

Оба произведения A·B и B·A можно определить только в том случае, когда число столбцов A совпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B. При этом обе матрицы A·B и B·A будут квадратными, но порядки их будут разными.

Чтобы оба произведения A·B и B·A были определены и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A и B были квадратными матрицами одного порядка.

Свойства перемножения (произведения) матриц

1. Сочетательное свойство произведения матриц

\[ (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \]

2. Распределительное свойство произведения матриц относительно суммы матриц

\[ (A + B) \cdot C = A \cdot С + B \cdot C \]

2. Перестановочное свойство произведения матриц справедливо имеет место лишь в исключительных частных случаях. В общем случае произведение матриц не обладает таким свойством, т.е.:

\[ A \cdot B \not = B \cdot A \]

Частный случай выполнения перестановочного свойства для произведения матриц

Если в диагональной матрице D все элементы главной диагонали равны друг другу, т.е.

\[ d_1 = d_2 = \dots = d_n = d \]

то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство

\[ A \cdot D = D \cdot A \]
Назад Вперед

Copyright © FXYZ.ru, 2007 — 2022.
Мобильная β версия | полная