Возведение комплексного числа в целую степень, формула Муавра

При возведении комплексного числа в любую целую степень модуль комплексного числа возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

\[ (a + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b)^2 = \\ = (r(\cos(φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(φ)))^2 = \\ = r^2 (\cos(2φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(2φ)) \]

а также

\[ (a + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b)^3 = \\ = (r(\cos(φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(φ)))^3 = \\ = r^3 (\cos(3φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(3φ)) \]

и вообще

\[ (a + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b)^n = \\ = (r(\cos(φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(φ)))^n = \\ = r^n (\cos(nφ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(nφ)) \]

Данная формула называется формулой Муавра. Она верна и для целого отрицательного значения n, а также для n = 0.

Возвести комплексное число в целую степень по формуле Муавра (3)

Назад Вперед