Извлечение корня из комплексного числа
Извлечение корня есть действие, обратное возведению в степень. Поэтому модуль корня (целой степени) из комплексного числа
получается извлечением корня той же степени из модуля подкоренного числа, а аргумент - делением аргумента на показатель корня:
a + i b n = = r ( cos ( φ ) + i sin ( φ ) ) n = = r n ( cos ( φ n ) + i sin ( φ n ) ) (1) \tag{1} \sqrt[n]{a + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b} = \\ = \sqrt[n]{r (\htmlStyle{color: Crimson;}{\cos}(φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\htmlStyle{color: Crimson;}{\sin}(φ)) } = \\ = \sqrt[n]{r} (\htmlStyle{color: Crimson;}{\cos}(\frac{φ}{n}) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\htmlStyle{color: Crimson;}{\sin}(\frac{φ}{n})) n a + i b = = n r ( cos ( φ ) + i sin ( φ ) ) = = n r ( cos ( n φ ) + i sin ( n φ ) ) ( 1 )
Корень n -й степени из всякого комплексного числа имеет n различных значений. Все они имеют одинаковые модули,
r n (2) \tag{2} \sqrt[n]{r} n r ( 2 )
аргументы же получаются из аргумента одного из них последовательным прибавлением угла:
360 ° n (3) \tag{3} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{360}}°}{n} n 3 6 0 ° ( 3 )
Различных значений корня будет ровно n
Извлечь корни из комплексного числа
Copyright © FXYZ.ru, 2007 — 2024. Мобильная β версия | полная