Извлечение корня из комплексного числа

Извлечение корня есть действие, обратное возведению в степень. Поэтому модуль корня (целой степени) из комплексного числа получается извлечением корня той же степени из модуля подкоренного числа, а аргумент - делением аргумента на показатель корня:

\tag{1} \sqrt[n]{a + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b} = \\ = \sqrt[n]{r (\htmlStyle{color: Crimson;}{\cos}(φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\htmlStyle{color: Crimson;}{\sin}(φ)) } = \\ = \sqrt[n]{r} (\htmlStyle{color: Crimson;}{\cos}(\frac{φ}{n}) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\htmlStyle{color: Crimson;}{\sin}(\frac{φ}{n}))

Корень n-й степени из всякого комплексного числа имеет n различных значений. Все они имеют одинаковые модули,

\tag{2} \sqrt[n]{r}

аргументы же получаются из аргумента одного из них последовательным прибавлением угла:

\tag{3} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{360}}°}{n}

Различных значений корня будет ровно n

Извлечь корни из комплексного числа

Назад Вперед