Радиальное (нормальное) ускорение

При движении тела по криволинейной траектории возникает радиальное ускорение. Оно всегда перпендикулярно направлению мгновенной скорости.

Радиальное (нормальное) ускорение равно квадрату угловой скорости помноженному на радиус траектории (5).

Радиальное (нормальное) ускорение

Для достаточно малого промежутка времени Δt справедливы следующие соотношения:

\[ \frac[-1.2]{Δs}{r} = \frac[-1.4]{Δu}{u_{л}} \]

Так как

\[ Δs = u_{л} Δt \]

имеем

\[ \frac[-1.4]{Δu}{u_{л}} = \frac[-1.2]{u_{л} Δt}{r} \]

или

\[ \frac{Δu}{Δt} = \frac{u_{л}^2}{r} \]

Отсюда получается радиальное ускорение

\[ a_{р} = \frac{u_{л}^2}{r} = ω^2 r \]

Радиальное ускорение меняет только направление, но не величину скорости.

Тот же результат можно получить рассмотрев координаты лежащей на окружности точки Р, в которой в данный момент находится тело:

Радиальное (нормальное) ускорение в декартовых координатах
\[ \lvbig x = r \cos(φ)
y = r \sin(φ) \r.\]

Из выражения Равномерное движение тела по окружности [1] следует

\[ φ = ωt \]

Согласно формуле Мгновенное ускорение [2] ускорение представляет собой вторую производную перемещения по времени. Продифференцировав дважды координаты точки Р, найдем ускорения в направлении осей координат:

\[ \lvbig \diff{x} = -ωr \sin(ωt)
\diff{y} = ωr \cos(ωt) \r.\]
\[ \lvbig \diiff{x} = -ω^2 r \cos(ωt)
\diiff{y} = -ω^2 r \sin(ωt) \r.\]

Знаки минус указывают на то, что ускорение направлено к началу координат.

Отсюда для результирующего ускорения имеем

\[ а_p^2 = (− ω^2 r \cos(ωt))^2 + (− ω^2 r \sin(ωt))^2 \] \[ а_p^2 = ω^4 r^2 (\cos^2(ωt) + \sin^2(ωt)) \] \[ а_p = \sqrt{ω^4 r^2} = ω^2 r \]

таким образом (11) и (5) совпадают.

Вычислить, найти радиальное (нормальное) ускорение по формуле (5) через линейную скорость

Вычислить
нажмите кнопку для расчета

Вычислить, найти радиальное (нормальное) ускорение по формуле (5) через угловую скорость

Вычислить
нажмите кнопку для расчета
Назад Вперед

Copyright © FXYZ.ru, 2007 — 2017.
Мобильная β версия | полная