Первая космическая (орбитальная) скорость, формула

Первая космическая скорость — это скорость которой должно обладать тело чтобы обращаться на постоянной высоте над поверхностью планеты.

С помощью формулы ускорения свободного падения можно определить скорость обращения искусственного спутника Земли (и любой другой планеты) на любой высоте над ее поверхностью.

Первая космическая (орбитальная) скорость

Действующая на спутник сила тяжести равна центробежной силе, т.е.

\[ G = mg = F_{цб} = \frac{mu_k ^2}{r_{Зем}+h} \]

\[ u_k = \sqrt{g(r_{Зем}+h)} \]

Здесь:
u_1k — первая космическая (орбитальная) скорость (м/c),
h — высота спутника над поверхностью планеты (м),
r_Зем — начальное расстояние между центрами масс тел (Поверхность планеты Земля) (метр),
m_Зем — масса планеты Земля (кг),
m — масса спутника (кг),
g — ускорение свободного падения на некотором расстоянии от поверхности Земли (м/с²),
g_Зем — ускорение свободного падения на поверхности Земли 9.81 (м/с²),
γ — гравитационная постоянная 6.67 · 10^-11 (м³/(кг · сек²)),

Подставим сюда формулу ускорения свободного падения и получим

\[ u_k = \sqrt{g_{Зем} \frac{r_{Зем} ^2}{(r_{Зем}+h)}} \]

\[ u_k = \sqrt{ \frac{g_{Зем} r_{Зем} ^2}{(r_{Зем}+h)}} \]

Выражение для скорости движения искусственного спутника по орбите (верное также для других небесных тел) можно вывести, просто приравняв вес спутника силе гравитационного притяжения

\[ mg_{Зем} = γ \frac{m m_{Зем}}{r_{Зем} ^2} \]

\[ g_{Зем} r_{Зем} ^2 = γ m_{Зем} \]

Подставим 6 в 4 первая космическая скорость получится равной:

\[ u_k = \sqrt{ \frac{γ m_{Зем}}{(r_{Зем}+h)}} \]

Формула (7) позволяет определить скорость движения спутников по орбите. Однако конечная скорость ракеты-носителя в момент прекращения работы двигателей должна быть больше, чтобы вывести спутник на нужную высоту.

Указанные формулы справедливы и для случая движения Луны вокруг Земли. Верны они также и в случае движения планет вокруг Солнца, если движение происходит по траектории, незначительно отличающейся от круговой, т.е. по траектории с малым эксцентриситетом.

Вычислить, найти первую космическую (орбитальную) скорость по формуле (7)

Назад Вперед