Уравнение незатухающих гармонических колебаний, формула

При любых колебаниях отклонение системы вызывает появление восстанавливающей силы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия.

Линейный закон силы: Гармонические колебания характеризуются соотношением: Восстанавливающая сила F_в пропорциональна отклонению у.

Отклонению у отвечает сила F, определяемая жесткостью системы

Если

то

\[ D = \frac{F}{y} \] \[ F = Dy \]

Противоположно направленная восстанавливающая сила равна

\[ F_{в} = -Dy \]

\[ Восстанавливающая \enspace сила = Масса \cdot Ускорение \]

\[ - Dy = m \doubledifferential{y} \]

Отсюда после перестановки следует

\[ \doubledifferential{y} + \frac{D}{m} y = 0 \]

Полагая

\[ \frac{D}{m} = ω^2 \]

получаем

Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний

\[ \doubledifferential{y} + ω^2 y = 0 \]

Решение этого дифференциального уравнения дается формулой отклонения, что можно доказать, дважды продифференцировав отклонение y по t.