Уравнение затухающих колебаний, формула

Затухание вызывается силой, которая пропорциональна скорости и направлена противоположно ей:

\[ F \sim −υ \]

Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом вязкого трения β, т. е.

\[ F = −βυ = −β \differential{y} \]

Единица СИ коэффициента трения:

\[ [β] = \frac{кг}{сек} \]

Если

y	отклонение,	метр
u	скорость,	метр/сек
a	ускорение,	метр/сек²
β	коэффициентом вязкого трения,	кг/сек
δ	коэффициентом затухания,	радиан/сек
ω₀	собственная угловая частота,	радиан/сек

То основное уравнение динамики в этом случае гласит:

Восстанавливающая сила + Сила, вызывающая затухание =
= Масса * Ускорение

\[ - Dy - βu = ma \]

\[ - Dy - β \differential{y} = m \doubledifferential{y} \]

Отсюда следует

\[ \doubledifferential{y} + \frac{β}{m} \differential{y} + \frac{D}{m} y = 0 \]

Обозначая

\[ \frac{β}{m} = 2δ \]

\[ \frac{D}{m} = ω_0 ^2 \]

получаем

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

\[ \doubledifferential{y} + 2δ \differential{y} + ω_0 ^2 y = 0 \]

В случае внутреннего (вязкого) трения сила, вызывающая затухание, оказывается с достаточной точностью пропорциональной скорости. Внешнее (сухое) трение не зависит от скорости и приводит к иному закону затухания, который не описывается уравнением (9).

Назад Вперед