Уравнение затухающих колебаний, формула

Затухание вызывается силой, которая пропорциональна скорости и направлена противоположно ей:

\tag{1} F \sim −υ

Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом вязкого трения β, т. е.

\tag{2} F = −βυ = −β \dot{y}

Единица СИ коэффициента трения:

\tag{3} [β] = \frac{кг}{сек}

Если

y	отклонение,	метр
u	скорость,	метр/сек
a	ускорение,	метр/сек²
β	коэффициентом вязкого трения,	кг/сек
δ	коэффициентом затухания,	радиан/сек
ω₀	собственная угловая частота,	радиан/сек

То основное уравнение динамики в этом случае гласит:

Восстанавливающая сила + Сила, вызывающая затухание =
= Масса * Ускорение

\tag{4} - Dy - βu = ma

\tag{5} - Dy - β \dot{y} = m \ddot{y}

Отсюда следует

\tag{6} \ddot{y} + \frac{β}{m} \dot{y} + \frac{D}{m} y = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{0}}

Обозначая

\tag{7} \frac{β}{m} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}}δ

\tag{8} \frac{D}{m} = ω_{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{0}} ^{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}}

получаем

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

\tag{9} \ddot{y} + {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}}δ \dot{y} + ω_{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{0}} ^{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} y = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{0}}

В случае внутреннего (вязкого) трения сила, вызывающая затухание, оказывается с достаточной точностью пропорциональной скорости. Внешнее (сухое) трение не зависит от скорости и приводит к иному закону затухания, который не описывается уравнением (9).

Назад Вперед