Уравнение затухающих колебаний, формула

Затухание вызывается силой, которая пропорциональна скорости и направлена противоположно ей:

\[ F ~ −υ \]

Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом вязкого трения β, т. е.

\[ F = −βυ = −β \diff{y} \]

Единица СИ коэффициента трения:

\[ [β] = \frac{кг}{сек} \]

Если

yотклонение,метр
uскорость,метр/сек
aускорение,метр/сек2
βкоэффициентом вязкого трения,кг/сек
δкоэффициентом затухания,радиан/сек
ω0собственная угловая частота,радиан/сек

То основное уравнение динамики в этом случае гласит:

Восстанавливающая сила + Сила, вызывающая затухание =
= Масса * Ускорение

\[ - Dy - βu = ma \]
\[ - Dy - β \diff{y} = m \diiff{y} \]

Отсюда следует

\[ \diiff{y} + \frac{β}{m} \diff{y} + \frac{D}{m} y = 0 \]
Обозначая
\[ \frac{β}{m} = 2δ \]
\[ \frac{D}{m} = ω_0 ^2 \]

получаем

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

\[ \diiff{y} + 2δ \diff{y} + ω_0 ^2 y = 0 \]

В случае внутреннего (вязкого) трения сила, вызывающая затухание, оказывается с достаточной точностью пропорциональной скорости. Внешнее (сухое) трение не зависит от скорости и приводит к иному закону затухания, который не описывается уравнением (9).

Назад Вперед

Copyright © FXYZ.ru, 2007 — 2017.
Мобильная β версия | полная