Сложение колебаний одинаковой частоты одного направления

При наложении двух гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, возникает гармоническое колебание с той же частотой, а его амплитуда зависит от амплитуд и начальных фаз отдельных колебаний. Результирующее отклонение в каждый момент времени равно алгебраической сумме составляющих отклонений.

Сложение колебаний одинаковой частоты одного направления — векторная диаграмма

Если

Y_m1	Амплитуда колебаний 1,	метр
у₁	Отклонение колебаний 1,	метр
φ₀₁	начальная фаза колебаний 1,	радиан
Y_m2	Амплитуда колебаний 2,	метр
у₂	Отклонение колебаний 2,	метр
φ₀₂	начальная фаза колебаний 2,	радиан
ω	частота колебаний,	радиан/сек
t	продолжительность колебаний,	сек
Y_mрез	Амплитуда результирующих колебаний,	метр
у_рез	Отклонение результирующих колебаний,	метр
φ_0рез	начальная фаза результирующих колебаний,	радиан

то

\[ у_{рез} = у_1 + у_2 = Y_{m1} \sin(ωt + φ_{01}) + Y_{m2} \sin(ωt + φ_{02}) \]

Многократного применения теорему сложения, получаем

\[ у_{рез} = Y_{m рез} \sin(ωt + φ_{0 рез}) \]

при этом

\[ Y_{m рез} = \sqrt{Y_{m1}^2 + Y_{m2}^2 + 2 Y_{m1} Y_{m2} \cos(φ_{01} - φ_{02})} \]

\[ φ_{0 рез} = \arctg \frac{Y_{m1} \sin(φ_{01}) + Y_{m2} \sin(φ_{02})}{Y_{m1} \cos(φ_{01}) + Y_{m2} \cos(φ_{02})} \]

На рисунке амплитуды представлены векторами. Их направления соответствуют начальным фазам. В течение времени t они поворачиваются на один и тот же угол ωt, поскольку колебания имеют одинаковую частоту. Представление колебаний с помощью вращающихся векторов называется векторной диаграммой. Оно позволяет находить амплитуду и отклонение, не прибегая к математическим выкладкам.

В частном случае равных амплитуд (Y_m1 = Y_m2) выражения (3) и (4) упрощаются:

\[ Y_{m рез} = 2 Y_{m1} \cos\bigg(\frac{φ_{01} - φ_{02}}{2}\bigg) \]

\[ φ_{0 рез} = \frac{φ_{01} + φ_{02}}{2} \]

Для разности начальных фаз ∆φ = 0 или π получаем следующие частные случаи:

Условия		Результат
Ym1 = Ym2	∆φ = 0	Отклонения удваиваются
Ym1 ≠ Ym2	∆φ = 0	Отклонения суммируются
Ym1 = Ym2	∆φ = π	Оба колебания взаимно уничтожаются
Ym1 ≠ Ym2	∆φ = π	Отклонения вычитаются

Обратите внимание:

\[ ∆φ = φ_{01} - φ_{02} \]

Назад Вперед