Пересечение прямых

Для разыскания точки пересечения прямых

\[ А_{1} x + В_{1} y + С_{1} = 0 \]

\[ А_{2} x + В_{2} y + С_{2} = 0 \]

\[ \begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0 \\ A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0 \end{cases} \]

Эта система, как правило, дает единственное решение, и мы получим искомую точку.

Исключение возможно лишь при равенстве отношений

\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \]

т.е. в случае параллельности данных прямых.

Если данные прямые параллельны и не совпадают, то система не имеет решений, а если совпадают, то решений бесконечно много.

Пересечение прямых, примеры

Пример 1.

Найти точки пересечения прямых

\[ \begin{cases} y = 2x - 3 \\ y = -3x + 2 \end{cases} \]

Решая систему уравнений, находим

\[ x = 1 \qquad y = -1 \]

Прямые пересекаются в точке (1; -1).

Пример 2.

Прямые

\[ \begin{cases} 2x - 7y + 12 = 0 \\ x - 3.5y + 10 = 0 \end{cases} \]

параллельны и не совпадают, так как отношения 2:1 и (-7):(-3,5) равны между собой, но не равны отношению 12:10.

Данная система уравнений не имеет решения.

Пример 3.

Прямые

\[ \begin{cases} 3x + 2y - 6 = 0 \\ 6x + 4y - 12 = 0 \end{cases} \]

совпадают, так как отношения 3:6, 2:4 и (-6):(-12) равны друг другу.

Второе уравнение получается из первого умножением на 2.

Данная система имеет бесчисленное множество решений.

A₁	B₁	C₁
A₂	B₂	C₂