Условие перпендикулярности двух прямых

Условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями

\[ \begin{cases} y = a_{1} x + b_{1} \\ y = a_{2} x + b_{2} \end{cases} \]

служит соотношение

\[ a_{1} \cdot a_{2} = -1 \]

т.е. две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1, и не перпендикулярны, если оно не равно -1.

Пример 1.

Прямые

\[ \begin{cases} y = 3x \\ y = - \frac{1}{3} x \end{cases} \]

перпендикулярны, так как

\[ a_{1} \cdot a_{2} = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1 \]

Пример 2.

Прямые

\[ \begin{cases} y = 3x \\ y = \frac{1}{3} x \end{cases} \]

не перпендикулярны, так как

\[ a_{1} \cdot a_{2} = 3 \cdot (\frac{1}{3}) = 1 \]

Если уравнение одной из двух прямых не содержит ординаты (т.е. прямая параллельная оси OY), то эта прямая перпендикулярна к другой прямой при условии, что уравнение последней не содержит абсциссы (тогда вторая прямая параллельная оси абсцисс). В противном случае прямые не перпендикулярны. Например прямые х=5 и у=2х не перпендикулярны.

Условие перпендикулярности двух прямых через определитель

Если две прямые представлены уравнениями

\[ \begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0 \\ A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0 \end{cases} \]

то условие их перпендикулярности есть

\[ A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0 \]

или в другом обозначении (определитель второго порядка)

\[ \begin{vmatrix} A_1 & -B_1 \\ B_2 & A_2 \end{vmatrix} = 0 \]

Пример 3.

Прямые

\[ \begin{cases} 2x + 5y - 8 = 0 \\ 5x - 2y - 3 = 0 \end{cases} \]

перпендикулярны. Здесь

\[ А_1 = 2, А_2 = 5, В_1 = 5, В_2 = -2, \]

значит,

\[ А_{1} А_{2} + В_{1} В_{2} = 10 – 10 = 0 \]

Пример 4.

Прямые

\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 0 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases} \]

не перпендикулярны, так как здесь

\[ А_{1} А_{2} + В_{1} В_{2} = 2 \]

Проверить условие перпендикулярности прямых

Назад Вперед

A₁	B₁
A₂	B₂