Для умножения на дробное число определение умножения сохранить нельзя.
Например, действие:
221×43(2)
нельзя выполнить, если его понимать так,
что 2 1/2 требуется взять слагаемым 3/4 раза.
Умножение дробей: Умножить некоторое число (целое или дробное) на дробь — значит разделить это число на знаменатель дроби и результат помножить на числитель. (Порядок действий можно изменить.)
Пример:
800×43(3)
800:4=200(4)
200×3=600(5)
800×43=600(6)
или с другим порядком действий
800×43(7)
800×3=2400(8)
2400:4=600(9)
800×43=600(10)
Приведенное определение не является произвольным измышлением: оно вытекает из необходимости полностью сохранить за действием умножения ту роль, которую оно играло в практике и в теории, пока мы имели дело с целыми числами.
При новом определении умножения остаются в силе все прежние свойства и правила, за исключением одного: при прежнем определении умножения число увеличивалось, отсюда и название «умножение» (от слова «много»). Теперь же мы должны сказать: от умножения на число, большее единицы, множимое увеличивается; от умножения на число, меньшее единицы (т.е. на правильную дробь), оно уменьшается. Несоответствие последнего факта с названием действия объясняется тем, что название «умножение» восходит к тем отдаленным временам, когда понятие умножения относили только к целым числам.
Умножение дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, умножают числитель на
числитель и знаменатель на знаменатель. Первый результат
есть числитель произведения, второй — знаменатель.
Если среди сомножителей имеются смешанные числа, то их предварительно
обращают в неправильную дробь. Еще до перемножения можно
сокращать любой множитель числителя с любым множителем
знаменателя на общий делитель.
2121×1207=1225×2027=45×49=1645=21613(11)
Здесь 25 и 20 сократили на 5. И 12 и 27 сократили на 3.
Все сказанное распространяется на случай, когда число сомножителей больше двух.
421×74×432=2⋅7⋅39⋅4⋅14=1⋅1⋅13⋅2⋅2=12(12)
Если среди сомножителей есть целые числа, то каждое из последних можно рассматривать как дробь со знаменателем 1.