Умножение дробей

Для умножения дроби на целое число действует определение умножения.

234×3=234+234+234=814(1)\tag{1} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}} × {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}} + {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}} + {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{8}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}}

Для умножения на дробное число определение умножения сохранить нельзя. Например, действие:

212×34(2)\tag{2} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}}} × \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}}

нельзя выполнить, если его понимать так, что 2 1/2 требуется взять слагаемым 3/4 раза.

Умножение дробей: Умножить некоторое число (целое или дробное) на дробь — значит разделить это число на знаменатель дроби и результат помножить на числитель. (Порядок действий можно изменить.)

Пример:

800×34(3)\tag{3} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{800}} × \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}}
800:4=200(4)\tag{4} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{800}} : {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{200}}
200×3=600(5)\tag{5} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{200}} × {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{600}}
800×34=600(6)\tag{6} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{800}} × \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{600}}

или с другим порядком действий

800×34(7)\tag{7} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{800}} × \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}}
800×3=2400(8)\tag{8} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{800}} × {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2400}}
2400:4=600(9)\tag{9} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2400}} : {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{600}}
800×34=600(10)\tag{10} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{800}} × \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{600}}

Приведенное определение не является произвольным измышлением: оно вытекает из необходимости полностью сохранить за действием умножения ту роль, которую оно играло в практике и в теории, пока мы имели дело с целыми числами.

При новом определении умножения остаются в силе все прежние свойства и правила, за исключением одного: при прежнем определении умножения число увеличивалось, отсюда и название «умножение» (от слова «много»). Теперь же мы должны сказать: от умножения на число, большее единицы, множимое увеличивается; от умножения на число, меньшее единицы (т.е. на правильную дробь), оно уменьшается. Несоответствие последнего факта с названием действия объясняется тем, что название «умножение» восходит к тем отдаленным временам, когда понятие умножения относили только к целым числам.

Умножение дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, умножают числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Первый результат есть числитель произведения, второй — знаменатель.

Если среди сомножителей имеются смешанные числа, то их предварительно обращают в неправильную дробь. Еще до перемножения можно сокращать любой множитель числителя с любым множителем знаменателя на общий делитель.

2112×1720=2512×2720=54×94=4516=21316(11)\tag{11} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{12}}} × {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{7}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{20}}} = \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{25}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{12}}} × \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{27}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{20}}} = \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{5}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}} × \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{9}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}} = \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{45}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{16}}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{13}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{16}}}

Здесь 25 и 20 сократили на 5. И 12 и 27 сократили на 3.

Все сказанное распространяется на случай, когда число сомножителей больше двух.

412×47×423=9414273=322111=12(12)\tag{12} {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}}} × \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{7}}} × {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}} = \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{9}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{14}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{7}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}} = \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{12}}

Если среди сомножителей есть целые числа, то каждое из последних можно рассматривать как дробь со знаменателем 1.

58×7×415=5748115=171213=76=116(13)\tag{13} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{5}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{8}}} × {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{7}} × \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{15}}} = \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{5}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{7}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{4}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{8}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{15}}} = \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{7}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{2}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}} · {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{3}}} = \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{7}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{6}}} = {\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}} \frac{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{1}}}{{\htmlStyle{color: ForestGreen;}{6}}}

Произвести умножение дробей

Вычислить
нажмите кнопку для расчета
Назад Вперед

Copyright © FXYZ.ru, 2007 — 2024.
Мобильная β версия | полная