Отклонение затухающих колебаний, формула

Если

y	отклонение,	метр
y₀	начальная амплитуда,	метр/сек
e = 2.718	основание натуральных логарифмов,
δ = β/2m	коэффициентом затухания,	1/сек
t	время,	сек
ω_зат	круговая частота затухающих колебаний,	радиан/сек
φ₀	начальная фаза,	радиан
φ	фаза,	радиан

\[ φ = ω_{зат}t + φ_0 \]

\[ y = y_0 e^{-δt} \sin(φ) \]

Амплитуда экспоненциально уменьшается со временем.

Отношение двух последовательных значений амплитуды остается постоянным. Эти численные значения амплитуд образуют убывающую геометрическую прогрессию.

Если

k	отношение амплитуд,
δ = β/2m	коэффициентом затухания,	1/сек
T	период затухающих колебаний,	сек
Λ	логарифмический декремент,
n	любое целое число,

то

\[ \frac{Y_{m, i}}{Y_{m, i+1}} = k \]

Следовательно, n-я амплитуда определяется формулой

\[ Y_{m, i+1} = \frac{Y_{m, i}}{k^n} \]

Поскольку промежуток времени между двумя последовательными амплитудами равен периоду Т, получаем

\[ e^{δT} = \frac{Y_{m, i}}{Y_{m, i+1}} \]

Или

\[ e^{n δT} = \frac{Y_{m, i}}{Y_{m, i+1}} \]

Показатель экспоненты δТ называется логарифмическим декрементом Λ. Логарифмирование формулы дает

\[ Λ = δT = \ln\bigg(\frac{Y_{m, i}}{Y_{m, i+1}}\bigg) \]

Логарифмический декремент Λ представляет собой натуральный логарифм отношения амплитуд k.